Ajourført den 16. december 1999

Kaos eller orden?

Vi tror efterhånden, at verden er så planlagt og forudsigelig, at det kun er et spørgsmål om regnekraft, når noget skal forudsiges. Vi mener vel, at forudsigelsen af vejret fjorten dage frem, kommer den dag, vi har regnemaskiner, der er hurtige nok.
Der er dog den lille hage ved det, at selv meget små og lukkede systemer faktisk kan opføre sig uforudsigelig, så hvordan kan vi da tro, at vi kommer til at kunne forudsige sommerferievejret i juleferien. Det kommer vi nok aldrig til og det vil jeg gerne anskueliggøre med nedenstående lille program.
Programmet beregner en særdeles lille ligning om og om igen og tegner derefter en graf over resultatet. Det specielle ved beregningen er, at resultatet af en beregningen indgår som en faktor i næste omgang af beregningen. I det virkelige verden kunne det sammenlignes med en lille dam, hvori der var rovfisk og byttedyr, som begge formerer sig. Hvis rovfiskene formerer sig til flere, vil den næste generation kunne formere sig til endnu flere o.s.v. indtil søen er fyldt med rovfisk. Det siger sig selv, at det ikke sker, for rovfiskene vil æde alle byttedyrene og derefter vil alle sulte ihjel og de vil uddø. Der skal altså være en balance mellem rovdyr og deres formering og byttedyrene og deres formering. Det kan faktisk udtrykkes i en meget simpel formel:

X1 = K * X0(1 - X0)

K er den konstant, der fortæller, hvor meget rovfisken formere sig med i hver generation, - f.eks. er 2 det samme som ligevægt og 1 betyder at det er en truet art. Men hvad betyder 3 og for den sags skyld 4? Ved 3.9 sker der ting og sager. Vi prøver at gå igennem eksemplerne én for én. Indtast i feltet "Konstant" 1 og  i "Startværdi "0.4". og klik på "Tegn. Bemærk, at der er punktum mellem 0 og fire. Det er det engelske decimalkomma.Der står altså 0,4, hvilket er det samme som 40%. Søen er 40% fuld.

Hvad er kaotisk?

At det er kaotisk betyder vel bare, at det ikke længere svinger forudsigeligt og at et resultat ikke har forekommet tidligere. Havde det det, ville de efterfølgende resultater jo også bare være de samme som tidligere.
Men der er også en anden meget interessant ting ved at noget er kaotisk: En næsten ubetydelig ændring i begyndelses værdien har enorm betydning for resultatet bare nogle få generationer efter. Efter bare 10 iterationer (generationer) kan resultaterne være fuldstændig forskellige og man kan ikke erkende, at man startede med næsten samme startværdi. Hvis ikke du tror på mig, så prøv at ændre startværdien fra 0,4 til 0,40001, - altså en tiendedel promille. Normalt ikke noget vi så regner med til daglig, skulle jeg mene.

Har du gjort det?

I starten kan man ikke se noget. Den sidste graf har overskrevet den første, men efter 6-7 iterationer kommer der en lille ændring og pludselig er alt ændret. Det er umuligt at forudsige, hvor grafen rammer på tavlen ude til højre. Hvor tror du, den rammer, hvis du ændrer startværdien fra 0,40001 til 0,40002. Du kan ikke forudsige det, uden at beregne det først. "Jamen, så kan vi jo forudsige alt, bare vi kan beregne" vil du jo nok argumentere, akkurart som videnskabsfolkene i tredserne. Der er imidlertid en Mistelten, du ikke har taget i ed. Du skal jo kende startværdien. Er du i stand til at måle antallet af fisk med en tiendedel promilles nøjagtighed, hvis du skal forudsige en arts udvikling. Eller temperaturene alle steder i verdenshavene. Eller vindenes styrke overalt på kloden, når du skal forudsige vejret, som også er et særdelels kaotisk system. Det er selvfølgelig umuligt og derfor er det også umuligt at forudsige forløbet i et kaotisk system, - uanset hvilket system det er. Men skal man gøre det bedre er det ikke så meget antallet af beregninger der er afgørende, som det er den forfinede målemetode.

Prøv at lege videre med modellen i dette lille program og se om du kan finde overgangen fra et forudsigeligt system til et kaotisk system. Hvordan opfører 3,5 sig?

Perioder

3,5 er vel ikke kaotisk, men det ser til gengæld heller ikke ud til at den ændrer sig mellem to værdier men måske snarere 4 forskellige værdier. Man siger også, at den nu svinger med en periode på 4. Prøv nu at indtaste 3,6 i "Konstant" og behold startværdien på 0,4, som du har haft hele tiden. Nu bliver det svært at se om det er kaotisk eller med en stor periode. I hvert fald så er det kaotisk ved 3,7. Det skifter altså et sted mellem 3,5 og 3,7. Det var der engang en der hed (og hedder) Feigenbaum, der fandt ud af at hver gang perioden forøges, så forøges den med en faktor på 2, - altså 2,4,8,16 osv, og at skiftet til en højere periode, bliver mere og mere snævert, altså indenfor 3,5 og 3,7. Alt derover er kaotisk og altså uden periode ... eller hva'?

Som sagt kommer periodefordoblingerne hurtigere og hurtigere. For at illustrere dette, har jeg lavet et program, der skal vise dig, hvordan det sker. Hvis du lige tænker tilbage på programmet ovenover, så var en periode på to karakteriseret ved, at grafen hele tiden svingede mellem to punkter ud af x-aksen. Dvs., at lige meget hvor langt ud mod "højre" man går, kommer der ikke noget nyt frem, - eller sagt på en anden måde: Der kommer ikke mere information ud af den graf. Man kunne altså lige så godt tegne to punkter. Det ville være nok til at fortælle, hvor meget konstanten (k) gav af svingninger. Vi kunne altså erstatte antallet af gange, der beregnes ud af x-aksen, med konstanten (k). Det ville betyde, at vi så kunne nøjes med at tegne de to punkter for perioden op ad y-aksen. Y-aksen har altså stadig den samme værdi mellem 0 og 1. Ud af x-aksen forøges konstanten (k). I alle beregninger er startværdien 0.5.

Programmet  herunder tegner så punkterne for konstanterne mellem 2 og 4 på en y-akse mellem 0 og 1. Tryk på "Tegn" og se hvad der sker. Det kan tage lidt tid, - afhængig af kræfterne i din computer.

Spændende ikke .....? Nå, - hvad fortæller sådan et billede så? Ikke så lidt endda!!

Ud fra venstre kommer der en streg, der stiger svagt op ad. Det er en periode på 1, altså en lige linie på den første graf. Pludselig deler den sig midt på billedet. (Se lige bort fra det sorte "snask" omkring delingen, - hvis du vil fjerne det skal du øge "Nøjagtigheden" fra 1 til 25. Det øger imidlertid også beregningstiden). Linien deler sig altså i to. Disse to linier afbilleder altså, at med en konstant på ca. 3 eller derover, så er perioden mindst 2. Hver af de to linier, deler sig så igen kort efter. Igen på samme måde. Nu er der 4 linier, så 8, 16, 32 osv. Men hele tiden hurtigere og hurtigere. Til sidst er der kun sorte prikker uden orden og totalt kaos! Ja, og dog? Der kommer ligesom to aflange hvide områder oven på hinanden, - kun lige adskildt af en tynd linie. Det er faktisk mærkeligt!! Det interessante her er ikke bare de "hvide områder", men bestemt også grænsen mellem dem og resten.

Programmet er lavet således, at du kan "zoome" ind på det interessante. Du kan f.eks. snævre ind på disse hvide områder ved at taste Start Konstant 3,8 og Slut Konstant 3,9.
Du kan også "zoome" ved at tegne en firkant omkring det område du ønsker forstørret. Her vil det altså være det hvide område. Du skal bare trække musen fra det ene "hjørne" til det andet af det du vil forstørre. Så bliver værdierne indsat i indtasningsfelterne og du skal bare trykke på "Tegn".

Nu ser du pludselig disse tre linier tydeligt. Der er flere mærkelige ting ved disse tre linier: Hvor kommer de fra? Hvor skal de hen? Store spørgsmål til tre små uskyldige linier. Men det er da mærkeligt, at de dukker op af kaos ude til "venstre". Her troede vi, at perioderne fordoblede sig ud i det uvisse og så viser tallet tre sig, som om det følte sig forbigået mellem 2 og 4, da de tegnede perioder tidligere. Disse tre linier fordobler sig også ligesom tidligere. Nu hedder det altså bare 3, 6, 12 osv. Tal der der ikke har været brugt tidligere.

Prøv nu at ændre Start Konstant til 3,7 og behold 3,9 i Slut Konstant. Vi "zoomer" altså lidt ud. Der sker nu noget mærkeligt. Du ser nu 4 hvide områder, adskildt af 5 streger. Zoom ind med 3,7 og 3,8. Nu er de helt tydelige. Tallet fem blev jo også forbigået tidligere, men nu kommer den altså.

Tast 3,7 og 3,72. Nu ses 7 tydelig og 9 skimtes i højre side. Zoom videre så længe du gider og udforsk hvad perioderne viser.

En anden ting, du bør bemærke er, at periodefordoblingerne ligner hinanden lige meget om de går fra 1 til 2 til 4, eller det er fra 3 til 6 til 12. "Gaflerne" ser ens ud. Hvad du ser i det store, gentages i det små. Det er, hvad man kalder fraktaler

og hvad nytte er det så til...?

Jah, nytte og nytte. Det viste sig nemlig også, at dette kaos og orden i samme kaos kan ses og mærkes lige udenfor din computerskæm, - nemlig ude i naturen eller den dryppende vandhane i køkkenet eller dit hjertes slag. Ja, selv planeternes bane rundt om solen styres ikke kun af Newtons love, men også af de kaotiske love.

Hvordan kommer jeg videre?

Her kommer en liste over litteratur, du kan læse med stor fordel og glæde. Listen er i den orden, som jeg ville anbefale at læse dem, - både af hensyn til kvalitet og emnets sværhedsgrad. Du kan sagtens nøjes med de danske, hvis du foretrækker det!
 
Forfatter Titel Forlag Årstal Sprog ISBN
James Gleick Kaos - En ny videnskabs tilbliven Munksgaard 1993 Dansk 87-16-11162-1
Nina Hall (Editor) The new Scientist Guide to Chaos Penguin Science 1992 Engelsk 0-14-014571-0
Tor Nørretranders Verden vokser -
tilfældighedens historie
Aschehoug 1994 Dansk 87-11-11046-5
Tomas Bohr Bevægelsens uberegnelige Skønhed - Om kaos Gyldendal 1992 Dansk 87-00-06782-2
Jack Cohen - Ian Stewart The Collapse of Chaos Viking 1994 Engelsk 0-670-84983-9

Interessante Links

http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/rucker/chaos.htm Download af program til simulering af kaos af James Gleick!!
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html Download af Fractint. Lav dine egne fraktaler. Intet bedre.
http://www.lovisti.dk/fractals.htm Kaos og fraktaler
Besøgende: